Teorija

4. Tjedan

• Lekcija: Vodiči u elektrostatičkom polju, kapacitivnost i kondenzatori

---

1. Vodiči u elektrostatičkom polju

1.1. Ponašanje vodiča u elektrostatičkom polju

Slobodni elektroni i neutralizacija polja

• Vodiči su materijali koji sadrže velik broj slobodnih elektrona.
• U elektrostatičkom stanju, kada se vodič postavi u vanjsko električno polje, slobodni elektroni redistribuiraju se po površini vodiča. Time se uspostavlja unutarnje polje $E = 0$, jer bi bilo kakvo polje unutar vodiča uzrokovalo struju elektrona, suprotno pretpostavljenom mirnom stanju.

Indukcija naboja

• Kada je vodič izložen vanjskom polju, dolazi do indukcije naboja: pozitivan naboj se pojavljuje na jednoj strani, a negativni naboj na suprotnoj strani, sve dok se ne uspostavi ravnoteža.
• Ukupni neto naboj vodiča može ostati nula, ali postoji razdvajanje naboja na površini.

Potencijal vodiča

• U elektrostatičkom stanju vodič je izopotencijal: svi dijelovi vodiča imaju isti potencijal $V$.
• Zbog toga se i kaže da je površina vodiča izopotencijalna površina.

Električno polje oko vodiča

• Jakost polja u neposrednoj blizini površine vodiča vezana je uz površinsku gustoću naboja $\sigma$. $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$
• Polje je okomito na vodič, jer bi inače postojala tangencijalna komponenta koja bi pokretala elektrone po površini.

Faradayev kavez

• Faradayev kavez: metalna konstrukcija koja štiti unutrašnjost od vanjskih električnih polja.
• Načelo: vodič ima $E=0$ u svojoj unutrašnjosti, pa sve unutra ostaje zaštićeno.

---

1.2. Kapacitivnost

Definicija kapacitivnosti

• Kapacitivnost je sposobnost da se “zadrži” (pohrani) električni naboj za neku razinu potencijala.
• Matematički: $$C = \frac{Q}{V},$$ gdje $Q$ – naboj, $V$ – potencijal.

Jedinice

• Jedinica kapacitivnosti je Farad (F), a vrijedi $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C/V}$.

Primjeri kapacitivnosti

1. Sferni vodič polumjera $R$:

   $$C = 4\pi\varepsilon_0 R.$$
   • Ako sfera ima naboj $Q$ i potencijal $V$, tada $Q = C\,V$.

2. Cilindrični vodiči: Za vrlo dugačak cilindar polumjera $r$, kapacitivnost ovisi o duljini i geometriji, često se izvodi integralom ili Gaussovim zakonom uz logaritamsku ovisnost.

3. Ravni vodič (npr. disk ili ploča): kapacitivnost opet proizlazi iz raspodjele naboja i oblika vodiča.

---

1.3. Kondenzatori

Definicija i vrste

• Kondenzator je uređaj sastavljen od dvaju vodiča (obično ploče, cilindri ili sfere) razdvojenih izolatorom ili dielektrikom.
• Primarne vrste: ravni pločasti, cilindrični i sferni kondenzatori.

Kapacitivnost pločastog kondenzatora

• Idealizirani pločasti kondenzator: dvije paralelne ploče površine $A$, udaljene $d$. U vakuumu: $$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}.$$
• Ako je između ploča dielektrički materijal s relativnom permitivnošću $\varepsilon_r$, tada $$C = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, A}{d}.$$

Dielektrici i povećanje kapacitivnosti

• Dielektrici polarizacijom smanjuju efektivno polje između ploča, što povećava kapacitet.
• $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$, gdje $\varepsilon_r$ > 1 za većinu materijala.

Energija pohranjena u kondenzatoru

• Ako kondenzator ima naboj $Q$ i napon $V$, onda je energija: $$W = \frac{1}{2} Q V = \frac{1}{2}C V^2 = \frac{Q^2}{2C}.$$

---

1.4. Povezivanje kondenzatora

Serijski spoj

• Serijski kondenzatori imaju isti naboj $Q$ na sebi, dok se napon dijeli: $$\frac{1}{C_{\text{uk}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$$

Paralelni spoj

• Paralelni kondenzatori imaju isti napon, a ukupna kapacitivnost je zbroj pojedinačnih: $$C_{\text{uk}} = C_1 + C_2 + \dots$$

---

Primjeri

1. Proračun kapaciteta sfernog vodiča: Uzeti sferu polumjera $R$ i promotriti da joj se dovede naboj $Q$. Potencijal od referentne beskonačnosti do radijusa $R$ tekući se dobije iz Coulombova integrala. Rezultat: $C= 4\pi\varepsilon_0 R$.

2. Primjer pločastog kondenzatora: Dvije ploče površine $A=1\,\mathrm{m^2}$ razmaknute $d=0.01\,\mathrm{m}$ u zraku ($\varepsilon_r\approx 1$). Račun:

   $$C= \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}\times1}{0.01}= 8.854\times10^{-10}\,\mathrm{F}=0.8854\,\mathrm{nF}.$$

3. Energija: Ako takav kondenzator napunimo na napon $V=100\,\mathrm{V}$, energija je

   $$W= \frac{1}{2}C\,V^2= \frac{1}{2}\times0.8854\times10^{-9}\times(100)^2= 4.427\times10^{-6}\,\mathrm{J}.$$

4. Serijska i paralelna veza: Česti zadaci s više kondenzatora — računanje ukupne kapacitivnosti prema gore navedenim formulama.

---

Zaključak

1. Vodiči u elektrostatičkom polju imaju $\vec{E}=0$ u unutrašnjosti, sav naboj prelazi na površinu.
2. Kapacitivnost opisuje odnos naboja i potencijala: $C = Q/V$. Uređaji s velikom kapacitivnošću mogu pohraniti više naboja pri istoj razini potencijala.
3. Kondenzatori su praktična realizacija ovog koncepta, s mogućnošću pohrane električne energije. Njihova kapacitivnost ovisi o geometriji, razmaku i svojstvima dielektrika.
4. Spoj kondenzatora (serijski i paralelni) omogućuje širi raspon ukupnih kapaciteta za primjene u elektroničkim sklopovima (filtar, rezonator, energetska pohrana...).

Vježbe

Auditorne vježbe: Električni potencijal i razlika potencijala

---

Podsjetnik na temeljne pojmove

1. Električni potencijal $V$ u nekoj točki definira se kao rad po jedinici pozitivnog testnog naboja $q$ potreban da se taj naboj premjesti iz beskonačnosti (gdje je $V=0$) do te točke, bez ubrzavanja:

   $$V = \frac{W}{q}.$$
   • Jedinica potencijala: Volt (V), gdje je $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J/C}$.

2. Razlika potencijala (tzv. napon $\Delta V$) između dviju točaka A i B:

   $$\Delta V = V_B - V_A = \frac{W_{A \to B}}{q}.$$

   Ako naboj prelazi iz A u B, rad koji obavlja vanjska ili električna sila može se vezati uz razliku potencijala.

3. Veza s električnim poljem:

   • Za slučaj jednodimenzijskog pomaka, npr. smjera $x$, $$E = - \frac{dV}{dx}.$$
   • U trodimenzijskom prostoru, $\vec{E} = - \nabla V$.
   • Ako se krećemo u suprotnom smjeru od polja, obavljamo pozitivan rad (podižemo potencijal).

4. Potencijal točkastog naboja $Q$ na udaljenosti $r$:

   $$V(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}.$$

---

Zadatak 1: Potencijal i polje točkastog naboja

Tekst:
Imamo točkasti naboj $Q=+5\,\mu\mathrm{C}$ u vakuumu.

1. Neka je točka A udaljena $r_A=0.10\,\mathrm{m}$, a točka B $r_B=0.20\,\mathrm{m}$ od naboja. Izračunajte potencijal u A i B.
2. Izračunajte razliku potencijala $V_A - V_B$.
3. Kolika je jakost električnog polja $E$ u točki na udaljenosti $r=0.15\,\mathrm{m}$ ?

Rješenje (korak po korak)

1. Podaci i konstante

   • $Q=5\times10^{-6}\,\mathrm{C}$.
   • $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8.9875\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.$
   • $r_A=0.10\,\mathrm{m}$, $r_B=0.20\,\mathrm{m}$.

2. (a) Potencijal u A i B

   • Formula: $V(r)= \frac{k\,Q}{r}.$

   • $V_A= \frac{8.9875\times10^9 \times 5\times10^{-6}}{0.10}$.

     • Brojnik: $8.9875\times10^9 \times5\times10^{-6} = 8.9875\times5\times10^{9-6}= 8.9875\times5\times10^3= 44.9375\times10^3= 4.49375\times10^4.$
     • Zatim podijeljeno s 0.10: $4.49375\times10^4 / 0.1=4.49375\times10^5\,\mathrm{V}\approx 4.49\times10^5\,\mathrm{V} .$
       Dakle: $V_A\approx 4.49\times10^5\,\mathrm{V}.$

   • $V_B= \frac{8.9875\times10^9 \times5\times10^{-6}}{0.20}$.
     To će biti $\tfrac{1}{2}$ od $V_A$, tj. $\approx2.245\times10^5\,\mathrm{V}.$

3. (b) Razlika potencijala $\Delta V= V_A - V_B$

   • Numerički, $V_A\approx 4.49\times10^5$, $V_B\approx 2.245\times10^5$.
   • $\Delta V= 4.49\times10^5 -2.245\times10^5= 2.245\times10^5\,\mathrm{V}.$
   • Tj. duplo je veći potencijal bliže, pa je $\Delta V$ tako velika.

4. (c) Jakost polja u točki na $r=0.15\,\mathrm{m}$

   • $E(r)= \frac{k\,Q}{r^2}.$
   • $E(0.15)= \frac{8.9875\times10^9 \times5\times10^{-6}}{(0.15)^2}.$
     • Nazivnik: $(0.15)^2=0.0225.$
     • Brojnik: isto kao gore $= 8.9875\times5\times10^3= 44.9375\times10^3.$
     • $\tfrac{44.9375\times10^3}{0.0225}= (44.9375\times10^3)\times(1/0.0225).$
       $\frac{1}{0.0225}=44.444...$ (otprilike).
       $44.9375\times10^3\times44.44\approx 44.9375\times44.44\times10^3\approx 2000\times10^3=2\times10^6$ (gruba procjena).
       Konačno dobijemo $E\approx 2.0\times10^6\,\mathrm{V/m}.$

Odgovor:

• $V_A\approx 4.49\times10^5\,\mathrm{V}, \quad V_B\approx2.25\times10^5\,\mathrm{V}, \quad \Delta V\approx2.25\times10^5\,\mathrm{V}, \quad E(0.15)\approx2.0\times10^6\,\mathrm{V/m}.$

---

Zadatak 2: Rad u električnom polju – razlika potencijala

Tekst:
Pretpostavimo da pozitivan naboj $q=2\times10^{-6}\,\mathrm{C}$ premještamo iz točke A (potencijal $V_A= 200\,\mathrm{V}$) u točku B (potencijal $V_B=500\,\mathrm{V}$).

1. Koliki je rad električne sile, a koliki rad vanjske sile pri tom prijenosu?
2. Kolika je razlika potencijala?

Rješenje (korak po korak)

1. Razlika potencijala $\Delta V=V_B-V_A=500-200=300\,\mathrm{V}$.

2. Rad i $\Delta V$:

   • Električna sila će obaviti rad:

     $$W_{\text{električni}}= q\,(V_A - V_B)= q\,(-\Delta V).$$

     Ovdje pazimo na znak: ako se pozitivan naboj kreće u povećanje potencijala, električno polje obavlja negativan rad (jer polje “želi” gurati naboj tamo gdje je manji potencijal).
     Dakle:

     $$W_{\text{električni}}= 2\times10^{-6}\times(200-500)= 2\times10^{-6}\times(-300)= -6\times10^{-4}\,\mathrm{J}.$$

     Oznaka “-” znači da je polje uzelo energiju.

   • Vanjska sila mora uložiti pozitivan rad suprotne veličine, da bi naboj stigao tamo unatoč silama polja.

     $$W_{\text{vanjski}}= +6\times10^{-4}\,\mathrm{J}.$$

3. Tumačenje:

   • Budući da se krećemo od nižeg potencijala prema višem (A→B), vanjski rad je pozitivan, a rad polja negativan.

Odgovor:

• $\Delta V=300\,\mathrm{V}$.
• $W_{\text{električni}}=-6\times10^{-4}\,\mathrm{J}$.
• $W_{\text{vanjski}}= +6\times10^{-4}\,\mathrm{J}$.

---

Zadatak 3: Potencijal beskonačne ravnine i rad

Tekst:
Imamo beskonačnu ravninu s gustoćom naboja $\sigma$. Za točku A na udaljenosti $x_A=0.02\,\mathrm{m}$ od ploče i točku B na udaljenosti $x_B=0.10\,\mathrm{m}$ od ploče, pronađimo razliku potencijala $\Delta V$. Zanemarimo rubne efekte ploče.

Rješenje (korak po korak)

1. Polje ravnine:
   Za beskonačnu ravninu u vakuumu, $E= \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, konstantno. Pretpostavimo da je polje okomito na ravninu i usmjereno od ploče (ako je $\sigma>0$).

2. Potencijal (ako postavimo $V=0$ na samoj ravnini, ili na beskonačnosti; trebamo dogovor):

   • Razlika potencijala između dviju točaka na razmacima $x_A$ i $x_B$ je $$V_B - V_A= - \int_{x_A}^{x_B} E\,dx = - E(x_B - x_A).$$ Negativan znak jer $\vec{E}=-\nabla V$.
   • Budući da je $E$ konstantno: $$\Delta V= -( \tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} )\, (x_B - x_A).$$

3. Numerika (primjer):
   Ako $\sigma= 4\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^2}$, $\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}, x_A=0.02, x_B=0.10,$ onda

   $$E= \frac{4\times10^{-6}}{2\times8.854\times10^{-12}}\approx\frac{4\times10^{-6}}{1.77\times10^{-11}}=2.26\times10^5\,\mathrm{V/m}.$$ $$\Delta V= -(2.26\times10^5)\,(0.10-0.02)= -(2.26\times10^5)\times0.08= -1.81\times10^4\,\mathrm{V}.$$

   Znak minus znači da je $V_B < V_A$ (ovisno o smjeru polja).

Odgovor:

• $\Delta V= -E\, (x_B - x_A)$. Pri konstantnom $E$, razlika potencijala raste linearno s udaljenošću od ploče.

---

Zadatak 4: Zadano električno polje, pronaći potencijal

Tekst:
Pretpostavimo da je u nekom području 1D polje $E(x)= a\,x^2$ (za $0 \le x \le L$), gdje je $a$ konstanta. Ako je na $x=0$ potencijal $V(0)= V_0$, pronađimo $V(x)$.

Rješenje (korak po korak)

1. Veza $E=-\frac{dV}{dx}$.

   • $E(x)= a x^2$.
   • Dakle $-\frac{dV}{dx}= a x^2$.

2. Integracija:

   $$\frac{dV}{dx}= -a x^2 \quad\Longrightarrow\quad V(x)= -\int a x^2 \,dx= -a\frac{x^3}{3}+ C.$$

3. Konstanta $C$ iz uvjeta $V(0)=V_0$. Tada $V(0)= -a\cdot0 + C= C= V_0$.

   • Stoga: $$V(x)= V_0 - \frac{a}{3} x^3.$$

4. Primjer numerike: Ako $a=100\,\mathrm{V/m^3}$, $x=1\,\mathrm{m}$, $V(0)=12\,\mathrm{V}$, tada

   $$V(1)= 12 - \frac{100}{3}\times1^3=12 -33.33\approx -21.33\,\mathrm{V}.$$

Odgovor:
$V(x)= V_0 - \tfrac{a}{3}x^3.$

---

Zadatak 5: Uklopni primjer s kondenzatorom

Tekst:
Pločasti kondenzator ima ploče površine $A=0.2\,\mathrm{m^2}$, razmak $d=0.01\,\mathrm{m}$. Povezan je na napon $V=100\,\mathrm{V}$.

1. Izračunajte kapacitet.
2. Koliki je naboj na svakoj ploči?
3. Koliko je potencijal razlike na svakoj ploči u odnosu na neku referencu?

Rješenje (korak po korak)

1. Kapacitet ($\varepsilon_0=8.854\times10^{-12}$): $$C= \frac{\varepsilon_0 A}{d}= \frac{8.854\times10^{-12}\times0.2}{0.01}= \frac{1.7708\times10^{-12}}{0.01}= 1.7708\times10^{-10}\,\mathrm{F}.$$
2. Naboj: $Q= C\,V= 1.7708\times10^{-10}\times100=1.77\times10^{-8}\,\mathrm{C}.$
3. Razlika potencijala: Ionako zadana $100\,\mathrm{V}$. Ako je jedna ploča na nuli, druga je na $+100\,\mathrm{V}$. (Ovisno o priključcima, možemo reći da je jedna ploča $+50\,\mathrm{V}$, a druga $-50\,\mathrm{V}$ i slično — bitno je da je razlika 100 V.)

---

Zaključak

• Električni potencijal i razlika potencijala (napon) fundamentalni su za razumijevanje rada u električnom polju, raspodjele energije, i funkcioniranja uređaja poput kondenzatora.
• Zadaci tipično uključuju:
  • Primjenu formula $V = \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{Q}{r}$,
  • $\Delta V = -\int \vec{E}\,d\vec{l}$,
  • Razumijevanje konstante kod integriranja i polja kod beskonačnih ploča i drugih geometrija.

Ispit

Kako se definira električni potencijal $V$ u točki prostora?

$V = W \times q$

$V = \frac{q}{W}$

$V = \frac{W}{q}$

$V = W + q$

Koja je jedinica električnog potencijala?

$\mathrm{C}$ (Coulomb)

$\mathrm{J}$ (Joule)

$\mathrm{V}$ (Volt)

$\mathrm{N}$ (Newton)

Koji je izraz za razliku potencijala $\Delta V$ između dviju točaka A i B?

$\Delta V = V_A + V_B$

$\Delta V = V_A - V_B$

$\Delta V = V_B - V_A$

$\Delta V = V_A \times V_B$

Kako je električno polje $\vec{E}$ povezano s potencijalom $V$?

$\vec{E} = \nabla V$

$\vec{E} = \frac{dV}{dx}$

$\vec{E} = -\nabla V$

$\vec{E} = V \cdot \vec{r}$

Koji je potencijal točkastog naboja $Q$ na udaljenosti $r$ od naboja?

$V(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

$V(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$

$V(r) = 4\pi \epsilon_0 \cdot \frac{Q}{r}$

$V(r) = \frac{Q}{\epsilon_0 r}$

Što znači da je vodič izopotencijalna površina u elektrostatičkom stanju?

Svi dijelovi vodiča imaju različite potencijale.

Svi dijelovi vodiča imaju isti potencijal.

Vodič nema električnog polja oko sebe.

Vodič ne može držati naboj.

Koja svojstva vrijede za električno polje oko nabijenog vodiča u elektrostatičkom stanju?

$\vec{E} = 0$ unutar vodiča i polje je paralelno na površinu.

$\vec{E} = 0$ unutar vodiča i polje je okomito na površinu.

$\vec{E} \neq 0$ unutar vodiča i polje je okomito na površinu.

$\vec{E} \neq 0$ unutar vodiča i polje je paralelno na površinu.

Kako se kapacitivnost $C$ ravnog pločastog kondenzatora povezuje s površinom ploča $A$ i razmakom $d$?

$C = \frac{\epsilon_0 d}{A}$

$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$

$C = \frac{d}{\epsilon_0 A}$

$C = \epsilon_0 A d$

Koja je energija $W$ pohranjena u kondenzatoru s kapacitetom $C$ i naponom $V$?

$W = C V$

$W = \frac{1}{2} C V^2$

$W = \frac{C}{2} V^2$

$W = 2 C V^2$

Kako se ukupna kapacitivnost $C_{uk}$ kondenzatora u serijskom spoju računa?

$C_{uk} = C_1 + C_2$

$C_{uk} = \frac{C_1 + C_2}{2}$

$\frac{1}{C_{uk}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

$C_{uk} = C_1 \times C_2$

Kako se ukupna kapacitivnost $C_{uk}$ kondenzatora u paralelnom spoju računa?

$C_{uk} = C_1 + C_2$

$C_{uk} = \frac{C_1 + C_2}{2}$

$\frac{1}{C_{uk}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

$C_{uk} = C_1 \times C_2$